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Motion Planning with Environment
- 运动规划根据环境的变化在算法和处理方法上有很大的不同，涉及到模型建立、平滑优化和坐标转换以及障碍物投影等
Vehicle Model的建立
- 将汽车运动模型简化为自行车模型，将四轮抽象成两个轮子，前轮中心和后轮中心的运动方向和自行车一样
- 自行车运动的时候具有以下特点，旋转车头的时候，前轮和后轮都围绕一个中心点转动，并且后轮的转向半径（1/k）与方向盘转动角度(w)满足k=(tan(w))/L，L为前轮中心和后轮中心的距离
- 在实际的自行车运动模型中，后轴中心是沿着如上图所示的一条平滑的轨迹运行
SL坐标系
- 它以道路中心线为参考，S表示道路中心线的方向，L表示与道路中心线垂直的方向
- 在结构化道路上行驶的时候，SL坐标系比XY坐标系更加贴合实际需求
- SL坐标系到XY坐标系的投影：
- 因为很多信息是全局的，例如红绿灯位置，参考的是XY世界坐标系
- 在给定SL坐标系时，每一个点的S坐标本身对应一个（x_r，y_r）坐标
- X = x_r - L * sin(theta)，Y = y_r - L * cos(theta)
- L为该点的横向偏移距离，theta是切线方向
- XY坐标系到SL坐标系的投影：
- SL坐标系并不是唯一的，XY会在曲线上产生很多投影
- 投影点是经过XY坐标，且垂直于曲线的线段与曲线的交点
- 通常情况下会增加一些限制，例如投影距离不能超曲率值
曲线平滑
- 多项式
- 在轨迹上以等距离的方式随机选择一些点，然后用高阶多项插值的方式来近似表示轨迹，对多项式进行优化
- 但是高阶多项式不能用于平滑，因为高阶的多项式抖动太大，没有办法控制幅度
- Bezier Spline
- Bezier Spline 曲线是由一系列控制点定义的，例如P0到Pn，其中n代表曲线的阶数
- 这种方法的缺点是，除了起始点和终点，其它控制点不能保证会被得到的曲线经过
- 生成一条光滑的曲线，涉及到两方面，一方面是目标，另一方面是工具
- Smoothing Spline 具有一些特殊的性质，在给定边界的条件下，它是一个多项式，可以找到最优解
- Spline 2D
- 一个 Piecewise Polynomial 是一维的函数，描述二维曲线是不够的，这时候就有一个 Spline 2D
- 把曲线分成 N 截，每节曲线段它的 X 坐标是一个 Polynomial ，Y 坐标也是一个 Polynomial
- 如下图所示，用 5 阶多项式来表示 X 和Y，称之为 Quintic Spline（五次样条）
- 这种表示有一个很好的特性，就是目标函数具有旋转不变性
- 为了使曲线足够平滑，让它在 X 坐标上的变化率，也就是三阶导的平方是最小的，Y 上的变化率三阶导也是最小的，代价函数就是这两个变化率的和
- 端点约束条件保证节点处是平滑，需要保证 X 和 Y 方向的倒数是相等的，一般要求到三阶导都是相等的
- Spiral Path（螺旋曲线）
- 它通过一个极坐标形式定义
- 一个点 S 的曲率是知道的，假设它的原点在 （0，0）的位置，可以唯一定义出一条经过 S 的曲线，也就是 Spiral Path
- Spiral Path 和 Spline 2D 的区别
- 任何的曲线在足够密的时候都可以用Piecewise Spiral path 或者是 Piecewise Polynomial 表示
- 但是它们的出发点不一样，Polynomial 计算很快很简单，Spline 2D 是一个凸空间里面生成一个 Spline 曲线
- 理论上来讲，螺旋曲线生成的线是要比 Spline 更好处理，对一些极端情况处理更好
参考资料